đề thi đại học môn toán khối a năm 2010

  • 1. Trang 1/4 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010 Môn: TOÁN; Khối A (Đáp án - thang điểm bao gồm 04 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm 1. (1,0 điểm) Khi m = 1, tao sở hữu hàm số hắn = x3 − 2x2 + 1. • Tập xác định: R. • Sự biến hóa thiên: - Chiều biến hóa thiên: 'y = 3x2 − 4x; '( )y x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4 3 . 0,25 Hàm số đồng biến hóa bên trên những khoảng tầm (−∞; 0) và 4 ; 3 ⎛ ⎞ +∞⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; nghịch tặc biến hóa bên trên khoảng 4 0; 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . - Cực trị: Hàm số đạt cực lớn bên trên x = 0; yCĐ = 1, đạt rất rất tè bên trên x = 4 3 ; yCT = 5 27 − . - Giới hạn: lim x y →−∞ = − ∞ ; lim x y →+∞ = + ∞. 0,25 - Bảng biến hóa thiên: 0,25 • Đồ thị: 0,25 2. (1,0 điểm) Phương trình hoành chừng kí thác điểm: x3 − 2x2 + (1 − m)x + m = 0 ⇔ (x − 1)(x2 − x − m) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x2 − x − m = 0 (*) 0,25 Đồ thị của hàm số (1) tách trục hoành bên trên 3 điểm phân biệt, Lúc và chỉ Lúc phương trình (*) sở hữu 2 nghiệm phân biệt, không giống 1. 0,25 Ký hiệu g(x) = x2 − x − m; x1 = 1; x2 và x3 là những nghiệm của (*). Yêu cầu Việc vừa lòng Lúc và chỉ khi: 2 2 2 3 0 (1) 0 3 g x x ⎧∆ > ⎪ ≠⎨ ⎪ + <⎩ 0,25 I (2,0 điểm) ⇔ 1 4 0 0 1 2 3 m m m + >⎧ ⎪ − ≠⎨ ⎪ + <⎩ ⇔ 1 4 − < m < 1 và m ≠ 0. 0,25 y 1 +∞ −∞ 'y + 0 − 0 + x −∞ 0 4 3 +∞ 5 27 − 5 27 − O y x 4 3 1 2 tuoitre.vn
  • Bạn đang xem: đề thi đại học môn toán khối a năm 2010

    Xem thêm: giao thức truyền thông là gì

  • 2. Trang 2/4 Câu Đáp án Điểm 1. (1,0 điểm) Điều kiện: cosx ≠ 0 và 1 + tanx ≠ 0. Khi bại, phương trình tiếp tục mang đến tương đương: 2 sin 4 x π⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (1 + sinx + cos2x) = (1 + tanx)cosx 0,25 ⇔ (sinx + cosx)(1 + sinx + cos2x) = sin cos cos cos x x x x + ⇔ sinx + cos2x = 0 0,25 ⇔ 2sin2 x − sinx − 1 = 0 ⇔ sinx = 1 (loại) hoặc sinx = − 1 2 0,25 ⇔ x = − 6 π + k2π hoặc x = 7 6 π + k2π (k ∈ Z). 0,25 2. (1,0 điểm) Điều kiện: x ≥ 0. Ta có: 2 2( 1)x x− + = 2 2 ( 1) 1x x+ − + > 1, suy rời khỏi 1 − 2 2( 1)x x− + < 0. Do bại, bất phương trình tiếp tục mang đến tương tự với: 2 2( 1)x x− + ≤ 1 − x + x (1) 0,25 Mặt không giống 2 2( 1)x x− + = 2 2 2(1 ) 2( )x x− + ≥ 1 − x + x (2), vì thế đó: 0,25 (1) ⇔ 2 2( 1)x x− + = 1 − x + x (3) Để ý rằng: + Dấu vày ở (2) xẩy ra chỉ khi: 1 − x = x bên cạnh đó 1 − x + x ≥ 0. + 1 − x = x kéo theo đuổi 1 − x + x ≥ 0, vì thế đó: (3) ⇔ 1 − x = x 0,25 II (2,0 điểm) ⇔ 2 1 0 (1 ) x x x − ≥⎧⎪ ⎨ − =⎪⎩ ⇔ 2 1 3 1 0 x x x ≤⎧⎪ ⎨ − + =⎪⎩ ⇔ x = 3 5 2 − , vừa lòng ĐK x ≥ 0. 0,25 I = 1 2 0 d 1 2 x x e x x e ⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ ∫ = 1 2 0 dx x∫ + 1 0 d 1 2 x x e x e+ ∫ . 0,25 Ta có: 1 2 0 dx x∫ = 1 3 0 1 3 x = 1 3 0,25 và 1 0 d 1 2 x x e x e+ ∫ = 1 2 1 0 d(1 2 ) 1 2 x x e e + + ∫ , suy ra: 0,25 III (1,0 điểm) I = 1 3 + 1 0 1 ln(1 2 ) 2 x e+ = 1 3 + 1 1 2 ln 2 3 e+ = 1 3 + 1 1 2 ln 2 3 e+ . 0,25 • Thể tích khối chóp S.CDNM. SCDNM = SABCD − SAMN − SBCM = AB2 − 1 2 AM.AN − 1 2 BC.BM = a2 − 2 8 a − 2 4 a = 2 5 8 a . 0,25 VS.CDNM = 1 3 SCDNM.SH = 3 5 3 24 a . 0,25 IV (1,0 điểm) • Khoảng cơ hội đằm thắm hai tuyến phố trực tiếp DM và SC. ∆ADM = ∆DCN ⇒ ADM DCN= ⇒ DM ⊥ công nhân, kết phù hợp với DM ⊥ SH, suy rời khỏi DM ⊥ (SHC). Hạ HK ⊥ SC (K ∈ SC), suy rời khỏi HK là đoạn vuông góc cộng đồng của DM và SC, vì thế đó: d(DM, SC) = HK. 0,25 A B C D S N H K M tuoitre.vn
  • 3. Trang 3/4 Câu Đáp án Điểm Ta có: HC = 2 CD CN = 2 5 a và HK = 2 2 .SH HC SH HC+ = 2 3 19 a , vì thế đó: d(DM, SC) = 2 3 19 a . 0,25 Điều kiện: x ≤ 3 4 ; hắn ≤ 5 2 . Phương trình loại nhất của hệ tương tự với: (4x2 + 1).2x = (5 − 2y + 1) 5 2y− (1) 0,25 Nhận xét: (1) sở hữu dạng f(2x) = f( 5 2y− ), với f(t) = (t2 + 1)t. Ta sở hữu 'f (t) = 3t2 + 1 > 0, suy rời khỏi f đồng biến hóa bên trên R. Do đó: (1) ⇔ 2x = 5 2y− ⇔ 2 0 5 4 . 2 x x y ≥⎧ ⎪ ⎨ − =⎪ ⎩ 0,25 Thế nhập phương trình loại nhì của hệ, tao được: 4x2 + 2 25 2 2 x ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 2 3 4x− −7 = 0 (3). Nhận thấy x = 0 và x = 3 4 không nên là nghiệm của (3). Xét hàm g(x) = 4x2 + 2 25 2 2 x ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 2 3 4x− − 7, bên trên khoảng 3 0; 4 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 0,25 V (1,0 điểm) '( )g x = 8x − 8x 25 2 2 x ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 4 3 4x− = 4x (4x2 − 3) − 4 3 4x− < 0, suy rời khỏi hàm g(x) nghịch tặc biến hóa. Mặt khác 1 2 g ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 0, vì thế (3) sở hữu nghiệm có một không hai x = 1 2 ; suy rời khỏi hắn = 2. Vậy, hệ tiếp tục mang đến sở hữu nghiệm: (x; y) = 1 ; 2 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 0,25 1. (1,0 điểm) d1 và d2 tách nhau bên trên O, cos(d1, d2) = | 3. 3 1.1| 3 1. 3 1 − + + = 1 2 và tam giác OAB vuông bên trên B, vì thế AOB = 60 ⇒ BAC = 60 . 0,25 Ta có: SABC = 1 2 AB.AC.sin60 = 3 4 (OA.sin60 ).(OA.tan60 ) = 3 3 8 OA2 . Do đó: SABC = 3 2 , suy rời khỏi OA2 = 4 3 . 0,25 Tọa chừng A(x; y) với x > 0, vừa lòng hệ: 2 2 3 0 4 3 x y x y ⎧ + = ⎪ ⎨ + =⎪ ⎩ ⇒ A 1 ; 1 3 ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Đường trực tiếp AC trải qua A và vuông góc với d2, suy rời khỏi AC sở hữu phương trình: 3 x − 3y − 4 = 0. Tọa chừng C(x; y) vừa lòng hệ: 3 0 3 3 4 0 x y x y ⎧ − =⎪ ⎨ − − =⎪⎩ ⇒ C 2 ; 2 3 −⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 0,25 VI.a (2,0 điểm) Đường tròn xoe (T) sở hữu 2 lần bán kính AC, suy rời khỏi tâm của (T) là I 1 3 ; 22 3 −⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ và nửa đường kính IA = 1. Phương trình (T): 2 2 1 3 1 22 3 x y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ . 0,25 d2 y x C B O A d1 I tuoitre.vn
  • 4. Trang 4/4 Câu Đáp án Điểm 2. (1,0 điểm) Đường trực tiếp ∆ sở hữu vectơ chỉ phương v = (2; 1; −1) và mặt mày phẳng lì (P) có vectơ pháp tuyến n = (1; −2; 1). 0,25 Gọi H là hình chiếu của M bên trên (P), tao sở hữu cos HMC = ( )cos ,v n . 0,25 d(M, (P)) = MH = MC.cos HMC = MC. ( )cos ,v n 0,25 = 6 . | 2 2 1| 6. 6 − − = 1 6 . 0,25 Ta có: z = (1 + 2 2 i) (1 − 2 i) 0,25 = 5 + 2 i, suy ra: 0,25 z = 5 − 2 i. 0,25 VII.a (1,0 điểm) Phần ảo của số phức z bằng: − 2 . 0,25 1. (1,0 điểm) Gọi H là trung điểm của BC, D là trung điểm AH, tao sở hữu AH ⊥ BC. Do bại tọa chừng D(x; y) vừa lòng hệ: 4 0 0 x y x y + − =⎧ ⎨ − =⎩ ⇒ D(2; 2) ⇒ H(− 2; − 2). 0,25 Đường trực tiếp BC trải qua H và tuy nhiên song d, suy rời khỏi BC sở hữu phương trình: x + hắn + 4 = 0. 0,25 Điểm B, C nằm trong đường thẳng liền mạch BC: x + hắn + 4 = 0 và B, C đối xứng nhau qua chuyện H(− 2; − 2), vì thế đó tọa chừng B, C sở hữu dạng: B(t; − 4 − t), C(− 4 − t; t). Điểm E(1; −3) phía trên lối cao trải qua đỉnh C của tam giác ABC, suy ra: AB .CE = 0 ⇔ (t − 6)(5 + t) + (− 10 − t)(− 3 − t) = 0 0,25 ⇔ 2t2 + 12t = 0 ⇔ t = 0 hoặc t = − 6. Ta được: B(0; − 4), C(− 4; 0) hoặc B(− 6; 2), C(2; − 6). 0,25 2. (1,0 điểm) Đường trực tiếp ∆ trải qua điểm M(−2; 2; −3), nhận v = (2; 3; 2) làm vectơ chỉ phương. Ta có: MA = (2; −2; 1), ,v MA⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = (7; 2; −10). 0,25 Suy ra: d(A, ∆) = ,v MA v ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = 49 4 100 4 9 4 + + + + = 3. 0,25 Gọi (S) là mặt mày cầu tâm A, tách ∆ bên trên B và C sao mang đến BC = 8. Suy rời khỏi nửa đường kính của (S) là: R = 5. 0,25 VI.b (2,0 điểm) Phương trình (S): x2 + y2 + (z + 2)2 = 25. 0,25 Ta có: 3 (1 3 )i− = − 8. 0,25 Do bại z = 8 1 i − − = − 4 − 4i, suy rời khỏi z = − 4 + 4i. 0,25 ⇒ z + i z = − 4 − 4i + (− 4 + 4i)i = − 8 − 8i. 0,25 VII.b (1,0 điểm) Vậy: z iz+ = 8 2 . 0,25 ------------- Hết ------------- • M ∆ B C A • H M ∆ P C • E d A B C H D tuoitre.vn